Wizyta w ryokan

Wieczorem Akio i Naoki dotarli do ryokan, czyli gospody. Ściemniło się, więc weszli i spytali, czy znajdzie się dla nich miejsce do przenocowania.

− Chodźcie chłopcy − odparł właściciel − mam sporo gości, ale jakiś kąt dla was się znajdzie.
− Świetnie, bo chyba będzie chłodna noc − Akio nie krył radości.
− A ile nas to będzie kosztowało? − spytał nieśmiało Naoki.
− Jesteście młodzi, pewnie nie macie pieniędzy − rzekł właściciel ryokan. − Ale mam pomysł. Mój syn chodzi do szkoły świątynnej, tu niedaleko. Jego nauczyciel, sensei  Takuya dał uczniom problemy do rozwiązania. Większość tych problemów udało nam się rozwiązać. Ale jeden spędza nam sen z powiek. Siedzimy nad nim już 3 dni i nie możemy sobie poradzić.
− Myślisz, że my damy radę? − Naoki nieśmiało spojrzał na Akio.
− Jesteście bystrzy. Widzę, że macie w bagażu soroban, więc z matematyką jesteście pewnie zaprzyjaźnieni. Poza tym wyglądacie na inteligentnych. Jak uda wam się rozwiązać zadanie, to potraktuję to jako zapłatę za nocleg.
− Skoro tak, to możemy spróbować − powiedział nieśmiało Akio.
− W sumie to nie mamy wyjścia! − przytaknął mu Naoki.

Właściciel gospody przyniósł kartkę z zapisanym na niej problemem i wręczył ją chłopcom. Ci usiedli cicho w kącie karczmy i zajęli się rozwiązywaniem zadania. A brzmiało ono tak:

Na górze Asigara bawią się tengu i niedźwiedzie. Pewnego dnia Yama-umba policzyła zwierzęta i ich nogi. Zwierząt było 77, a ich nóg 244. Ile jest tengu a ile niedźwiedzi?

Zadanie okazało się dla chłopców łatwe. Szybko je rozwiązali, a uradowany właściciel gospody dał im nie tylko dach nad głową. Przekazał na drogę trochę ryżu. Wszak mieli przed sobą jeszcze szmat drogi.

Dla nas rozwiązanie zadania nie takie oczywiste, bo raczej nie wiemy, czym jest tengu. To mityczna istota przybierająca postać drapieżnego ptaka. Tyle w zasadzie wystarczy, by zorientować się w trudności zadania. Tengu ma 2 nogi, a niedźwiedź 4.

Tengu i samuraj (źródło: Wikipedia)

Problem należy do tych typowych z dzisiejszych podręczników szkolnych. Jednak trzeba pamiętać, że zadanie ma ok. 200 lat. W tamtych czasach edukacja zarezerwowana była w Japonii tylko dla bogatszej części społeczeństwa, dla rodzin samurajów i urzędników państwowych. Zwykli ludzie nie mieli do niej ograniczony dostęp. A jednak zadania tego typu rozwiązywali zwykli ludzie, jeszcze się przy tym nieźle bawiąc. Jak to możliwe, że niezbyt dobrze wykształceni ludzie mieszkający przed laty w Japonii mieli umiejętności pozwalające im sprostać takiemu wyzwaniu? Przecież w dzisiejszych czasach powszechnej i obowiązkowej nauki nie każdy uczeń, ba, nie każdy dorosły poradziłby sobie z takim problemem. Spróbujmy znaleźć odpowiedź na to pytanie. Jednak najpierw przedstawmy rozwiązanie algebraicznie czyli takie, jakiego uczymy się szkole.

Rozwiązanie algebraiczne

x – liczba tengu
y – liczba niedźwiedzi
2x – liczba nóg tengu|
4y – liczba nóg niedźwiedzi

Zadanie można rozwiązać za pomocą układu równiań:
Rozwiązanie tego układu równań zostawiamy czytelnikom.

W czasach, z których pochodzi zadanie, powyższe rozwiązanie nie było dostępne dla zwykłych Japończyków. W okresie Edo, jak już wspomnieliśmy w jednej z części naszych artykułów, w tradycyjnej matematyce japońskiej, zapisy algebraiczne istniały jedynie szczątkowo. Dlatego też przy rozwiązywaniu problemów takich jak opisywany, posiłkowano się rozwiązaniami bez użycia algebry. Pomocna była tu mocno akcentowana w matematyce wasan geometria. Pola podstawowych figur potrafili obliczyć niemal wszyscy, bo umiejętności te były potrzebne w codziennym życiu (np. do składowania i pakowanie worków z ryżem). Rozwiązanie z użyciem geometrii było bardzo proste. Sami zobaczcie.

Rozwiązanie geometryczne

Przedstawmy liczbę nóg niedźwiedzich oraz tengu równą liczbowo sumie pól prostokątów. Suma pól prostokątów [1] i [2] równa jest 244.

Prostokąt [1] ma boki o długościach 4 i liczba niedźwiedzi. Liczbowo pole tego prostokąta jest równe liczbie nóg niedźwiedzi.
Prostokąt [2] ma boki o długościach 2 i liczba tengu. Liczbowo pole tego prostokąta jest równe liczbie nóg tengu.

Zróbmy drugi rysunek dzieląc prostokąt [1] na dwa mniejsze prostokąty.

Teraz suma pół prostokątów [3] i [2] równa jest liczbowo wszystkim nogom w sytuacji, gdyby niedźwiedź miał ich tyle co tengu, czyli dwie. Policzmy te nogi używając sorobanu:

P[3][2] = 2 x 77 = 154

Niestety, tak nie jest. Policzyliśmy tylko dwie nogi każdego niedźwiedzia (np. przednie). Zostają nam jeszcze tylne nogi niedźwiedzi skrywane pod polem prostokąta [1]. Pole to można łatwo obliczyć. Wszystkich nóg jest 244 (tyle wynosi pole figury). Jeżeli od wszystkich nóg odejmiemy nogi tengu oraz przednie nogi niedźwiedzi, których suma wynosi 154 (pola prostokątów [2] i [3]), to otrzymamy pole prostokąta [1]. Używając sorobanu obliczamy:

244 – 154 = 90

Wiemy, że tylnych nóg niedźwiedzich jest 90. Każdy z niedźwiedzi ma 2 tylne nogi. Liczbę niedźwiedzi obliczymy dzieląc liczbę tylnych nóg przez 2:

90 :  2= 45

Obliczyliśmy, że niedźwiedzi jest 45.

Aby otrzymać liczbę tengu, należy od liczby wszystkich zwierząt odjąć liczbę niedźwiedzi:

77 – 45 = 32 – to jest odpowiedź do zadania.

Warto dodać, że bez użycia liczydła byłoby chłopcom trudno przeprowadzić wszystkie obliczenia. Soroban odciążył ich od rachunków w głowie i zminimalizował ryzyko pomyłki.

Przedstawiając dawne, japońskie rozwiązanie tego zadania, starałem się pokazać krok po kroku proces myślenia typowego Japończyka żyjącego w czasach Edo-Meiji (1603-1912) i rozwiązującego tę łamigłówkę matematyczną. Mam nadzieję, że mi się to udało. Mam też nadzieję, że zainspiruje to nauczycieli do odejścia od bezpiecznych i wyuczonych schematów podczas rozwiązywania zadań algebraicznych z dziećmi.

A tu film pokazujący przebieg obliczeń do tego zadania wykonywanych metodą współczesną na sorobanie.

−−
Karol Sieńkowski